中学数学题求解

仙都峰居士

这是去年smo junior 的题目，看了答案还是不明白，请各位版亲帮忙，谢谢！
Let P(X) be a polynomial of degree 2010. Suppose P(n)=n/(n+1) for all n=0, 1, 2,......., 2010. Find P(2012).

davidbin

假设多项式 P'(x) = (x + 1)P(x) - x
因为 P(x) 有2010 次幂, P'(x) 则有2011 次幂
不难发现P'(x) 有根 0, 1, 2, ..., 2010. These are the only roots since P'(x) has degree 2011.
所以 P'(x) = C(x - 0)(x - 1)(x - 2)...(x - 2010)
因为 1 = (-1 + 1)P(x) - (-1) =  P'(-1) = C(-1)(-2)...(-2011) = C(-1)^2011 2011!
所以 1 = -2011!C  ------〉 C = -1/2011!
P'(x) = -1/2011! x(x - 1)(x - 2)...(x - 2010)

P(2012) = (P'(2012) + 2012)/2013
= ((-1/2011! * 2012 * 2011 * ... * 2) + 2012)/2013
= ((-2012! / 2011!) + 2012)/2013
= (-2012 + 2012)/2013
= 0

davidbin

没看过答案，不知是否对和能让你明白？

仙都峰居士

你的解释和书上的答案基本一样，只是不明白为什么设 P'(x) = (x + 1)P(x) - x，还有题中 P(n)=n/(n+1) for all n=0, 1, 2,......., 2010 应该怎么理解， 两者之间是不是有什么思路可寻？ 谢谢！

仙都峰居士

谢谢两位的指点，我还有一点疑问，Q（X）=（X+1）P（X）-X 是在 n=0,1, 2, ......,2010 的条件下设定的，为什么P（2012）就一定适合，希望我不是在专牛角尖。

davidbin

1) Q（X）=（X+1）P（X）-X is valid for any X , it's our definition
2) P(n)=n/(n+1) is only valid for  n=0, 1, 2,......., 2010, beside P(0) = 0, none of them equal 0, so we know 0 not others  is a root of P(X)
3) Since P(2012) = 0 , we know 2012 is another root of P(X), the rest of 2008 roots of P(X) are unknown

仙都峰居士

davidbin 发表于 21-4-2012 08:26
1) Q（X）=（X+1）P（X）-X is valid for any X , it's our definition
2) P(n)=n/(n+1) is only valid for ...

谢谢您的详细解释，感激不尽！

仙都峰居士

请版亲们指点一下一元多次方程根与根之间的关系，谢谢！

静雯

仙都峰居士 发表于 4-5-2012 08:53
请版亲们指点一下一元多次方程根与根之间的关系，谢谢！

网上搜的：
"
一般的，对一个一元n次方程∑aiX^i=0  
它的根记作X1,X2…,Xn   
我们有  
∑Xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)  
∑XiXj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)
   …  
∏Xi=(-1)^n*a(0)/a(n)   
其中∑是求和，∏是求积。
你可以使用（x-x1）（x-x2）……（x-x3）=a0x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+……+an推导以上结果，
试试看
"

仙都峰居士

很好的建议，让孩子试试看, 希望他能明白， 谢谢!